Qual impressora comprar?

Olá Rosana.
Sim, você pode. Uma multifuncional poderia ser usada, porém é recomendável usar uma impressora que puxa o papel por trás (como por exemplo a L395) pois algumas multifuncionais puxam o papel pela frente e essas costumam ter dificuldade com folhas mais grossas.
Alguns visitante do site relataram problemas mesmo com essas pequenas como a L395 mas até onde eu sei o jeito delas puxarem o papel é o ideal pra folhas mais grossas. Se há algum problema, eu gostaria de ver pessoalmente mas ainda não tive a oportunidade.
A L395 é só um exemplo, existem vários outros modelos pra todos os bolsos e gostos.

Eh possível fazer convites e lembranças desses que parece foto em casa?

Olá Rosana, é possível fazer os convites, as lembrancinhas e até mesmo impressão de fotos com acabamento profissional desde que para isso você utilize papéis adequados, o papel tem uma interferência direta na qualidade final da impressão e quando se fala em qualidade fotográfica normalmente nós utilizamos o papel glossy ou o matte.
 

Uma multifuncional faz isso?
Qual impressora devo comprar?

Como o Denis respondeu as impressoras multifuncionais fazem esse tipo de serviço mas nem toda impressora é adequada para isso, quando nós falamos em gramatura de papéis utilizados para confecção de convites e personalizados é necessário uma máquina que opere com folhas mais grossas, a outra questão é a qualidade de impressão e se existe uma marca que domina o nicho de personalizados e lembrancinhas é a Epson, isso não foi alcançado gratuitamente já que essa fabricante de fato tem produtos diferenciados que se adaptam melhor a esse tipo de serviço. A HP não possui foco em qualidade de impressão fotográfica, o negócio da HP mais rentável é a fabricação de impressoras para escritórios, esse tipo de máquina é muito boa para impressão de textos e gráficos mas ela não entregará a mesma qualidade de impressão que a Epson proporciona.
 
A Epson Ecotank L395 que o Denis indicou serve para isso, a outra opção é adquirir uma Ecotank L805 que tem 6 cores ao invés das 4 cores tradicionais, esse diferencial costuma garantir maior fidelidade na reprodução de cores, a L805 não é multifuncional! Esse modelo tem apenas a função de imprimir mas para esse tipo de serviço é o que basta. A vantagem desses equipamentos é que eles não utilizam cartuchos de tinta, existe um tanque na lateral da impressora onde o próprio usuário abastece com garrafas de tinta, o custo de impressão também é bem menor do que o representado por modelos que utilizam cartuchos.